EVALUACIÓN DE RIESGO DE OPERACIÓN CON MATEMÁTICAS BORROSAS

Resumen

La administración de riesgos es un proceso destinado a identificar los eventos potenciales que pueden afectar la entidad y manejar los riesgos para proveer una seguridad razonable en el logro de sus objetivos e incluye la evaluación de riesgos como una de sus etapas fundamentales. En las empresas cubanas, en el marco del control interno se evalúan los riesgos de operación pero sin un método preciso. Las matemáticas borrosas o difusas, apropiadas para el tratamiento de la incertidumbre y la subjetividad, brindaron los métodos Fuzzy Delphi y del expertón que sustentan el procedimiento para la evaluación de riesgos. Los resultados de su aplicación confirman no sólo la aplicabilidad de estos métodos, sino además sus ventajas sobre la evaluación realizada por una sola persona, su adaptabilidad a diferentes niveles de la escala, su facilidad para operar sobre Excel así como la sencillez del procedimiento, esencial para que pueda ser aplicado por un público no familiarizado con las matemáticas borrosas.

Palabras Claves: Evaluación de riesgos, riesgos de operación, subconjuntos borrosos, método Fuzzy Delphi.

SUMMARY

The enterprises risk management is a process dedicated to identify the potential events that can affect the entity and to manage the risks to provide a reasonable security in the achievement of its objectives. It includes the evaluation of risks like one of its fundamental stages. The fuzzy sets theory, appropriate for the treatment of the uncertainty and the subjectivity, they offered the Fuzzy Delphi method that sustain the procedure. The necessity to apply the fuzzy mathematics to the operational risks evaluation is given by two fundamental conditions: the available insufficient information in the companies to evaluate a great part of these risks and the quick changes that take place in the companies and their environment. This last factor provokes the non execution of the supposition of normality that the traditional models of evaluation of risks demand, based on the theory of the probabilities, and it develops the necessity to use the opinion of experts. Its applicability to the evaluation of risks is sustained in the nature of these: the uncertainty, as well as in the subjectivity of the departure information. The results of their application in a managerial unit confirm the applicability of these methods.

Keywords: Evaluation of risks, Operational risks, Fuzzy sets, Fuzzy Delphi method.

Introducción

La Administración de Riesgos Empresariales es considerada como un factor fundamental que contribuye al cumplimiento de los objetivos y metas estratégicas de la organización. Se define como la cultura, los procesos y estructuras que están dirigidos hacia la administración eficaz de oportunidades potenciales y efectos adversos. Como proceso, la Administración de Riesgos  consiste en la aplicación sistemática de políticas, procedimientos y prácticas de administración a las tareas de: establecer el contexto, identificar, analizar, evaluar, tratar, monitorear y comunicar el riesgo.

En particular los riesgos empresariales de operación, entendidos como los riesgos que generan una posibilidad de desviación de los resultados esperados como consecuencia de cambios en los procesos, el comportamiento humano, sistemas internos o por eventos externos, precisan técnicas que difieren de las técnicas de administración de otros tipos de riesgos, como los financieros, por sólo citar un ejemplo. La diferencia radica fundamentalmente en la información de partida para su evaluación y en el tipo de medidas de tratamiento que exige su control. Generalmente no se guardan las memorias de eventos que han incidido en el cumplimiento de las metas y objetivos de la organización, las medidas que se han tomado y la eficacia de éstas, además de que pocas veces se realizan los cálculos para determinar las afectaciones económicas que han provocado o potencialmente pueden provocar estos hechos.

Las dos variables fundamentales de un riesgo son la frecuencia con que se manifiesta y la intensidad de sus consecuencias. En las empresas se puede identificar un gran grupo de riesgos, para los que no es posible determinar su probabilidad. Aún en el caso de que se guarden todos los registros de hechos pasados y se tenga una estadística completa de los riesgos en períodos anteriores, esta información no resultaría suficiente para calcular la probabilidad de un riesgo. En primer lugar, las condiciones en que se manifestaron los riesgos en períodos anteriores deben mantenerse sin cambios para poder proyectar ese mismo comportamiento hacia el futuro, y en segundo lugar, los riesgos nuevos tendrían una probabilidad igual a cero por no tener incidencias anteriores.

Una característica de las técnicas actualmente utilizadas en la evaluación de riesgos es que el análisis de sus variables (frecuencia e intensidad) presupone la existencia de información estadística suficiente para aplicar la teoría de las probabilidades. Sin una cantidad determinada de datos sobre ocurrencias pasadas del riesgo y la cuantificación de sus daños cuando sea pertinente resultará casi imposible evaluar estas variables.

Además de la insuficiencia de información, los riesgos de operación tienen la característica de que no siempre se identifican con el azar o aleatoriedad, sino con la incertidumbre, y ésta no puede ser “medida” ni tratada con las mismas técnicas con que se trata la aleatoriedad.

La búsqueda de solución al problema se encaminó entonces a detectar técnicas, reconocidas en el ámbito académico, que permitieran trabajar con información incierta (puesto que los riesgos están referidos al futuro), y a la vez subjetiva: en ausencia de datos se convertía la opinión de expertos en la principal fuente de información.

La matemática borrosa o difusa es un cuerpo de conocimientos capaz de aportar herramientas que permiten trabajar adecuadamente en situaciones en las que la incertidumbre es el principal factor que dificulta la medición. La teoría de los subconjuntos borrosos, como dice Zadeh, su principal autor, es un paso hacia el acercamiento entre la precisión de las matemáticas clásicas y la sutil imprecisión real; es una parte de las matemáticas que se halla perfectamente adaptada al tratamiento tanto de lo subjetivo como de lo incierto; es un intento de recoger un fenómeno tal cual se presenta en la vida real y realizar su tratamiento sin intentar deformarlo para hacerlo preciso y cierto. 1

Elementos básicos de la teoría de los subconjuntos borrosos.

Los inicios de las matemáticas borrosas o difusas se remontan a principios del siglo XX, cuando el lógico polaco Jan Lukasiewick desarrolló los principios de la que se denominó lógica multivaluada o lógica borrosa. En 1951, el matemático de origen austriaco Karl Meyer publicó unos artículos en los que introdujo una serie de conceptos pioneros para la teoría de los conjuntos borrosos. Pero sin dudas fue Lofti A. Zadeh, quien marcó un hito con su publicación de Fuzzy Sets (Conjuntos borrosos) en 1965, que sirvió de bautizo para esta disciplina e incluyó a la lógica tradicional como un caso particular de la borrosa.

Seguidamente se exponen algunos aspectos de la teoría de los subconjuntos borrosos y en particular las herramientas que se proponen para la aplicación en la evaluación de los riesgos empresariales de operación.

Las empresas, al igual que los seres vivos, necesitan estrategias para su supervivencia. La información de que disponen para la toma de decisiones puede ser cierta, aleatoria o incierta. El tratamiento de la información cierta y aleatoria se puede realizar con la ayuda de modelos deterministas y aleatorios respectivamente. Sin embargo, cada día aumenta la necesidad de tomar decisiones en un ambiente de incertidumbre. Morillas (2001) destaca tres fuentes de incertidumbre en el análisis de datos: la variabilidad de los datos propia de los hechos sociales y naturales, la imprecisión que surge al observar o medir los valores de una variable y la vaguedad que aparece cuando se utiliza el lenguaje humano para describir la observación o medida del resultado de un experimento como un dato.2

En el ámbito de la empresa se plantean problemas que se salen del marco de la certeza y la aleatoriedad. La toma de decisiones cuando, tanto los objetivos que se pretenden alcanzar, como las condiciones del entorno empresarial son imprecisos, requiere de un tratamiento con técnicas que permitan trabajar con datos inciertos y obtener resultados fiables y fundamentados científicamente.

Cada vez más se precisa trabajar con la información de expertos. Sirva a modo de ejemplo la necesidad de establecer la cuantía de los daños, medidos en términos monetarios, que puede provocar un siniestro (incendio, huracán, robo), que quizás nunca se ha manifestado en la empresa pero que pudiera suceder en un momento dado. Un experto podría dar una “medida” de la posible pérdida basada en la valoración de los activos que se encuentran expuestos a estos eventos, pero siempre cabría la duda sobre la influencia de algunas variables no controladas que pueden hacer variar la magnitud de la pérdida: lugar de origen del incendio, intensidad del huracán, momento del robo.

Es necesario distinguir aleatoriedad de incertidumbre. La aleatoriedad está vinculada a la probabilidad, que es una medida sobre observaciones repetidas en el tiempo y/o en el espacio. La incertidumbre está deficientemente estructurada y cuando se la explica se hace de manera subjetiva. “Un hecho incierto tiene una realización que no puede situarse en el tiempo y en el espacio. Hace referencia al futuro y el pasado no aporta nada o aporta muy poca información para la previsión del acontecimiento”.3 La matemática borrosa o difusa es un cuerpo de conocimientos capaz de aportar herramientas que permiten trabajar adecuadamente en situaciones en las que la incertidumbre es el principal factor que dificulta la medición. La teoría de los subconjuntos borrosos, como dice Zadeh, su principal autor, es un paso hacia el acercamiento entre la precisión de las matemáticas clásicas y la sutil imprecisión real.

La teoría de conjuntos de las llamadas matemáticas clásicas se basa en el principio de Aristóteles del tercio excluido. Según este postulado una afirmación sólo puede ser cierta o falsa, no existiendo un término intermedio. En las matemáticas esto significa que dado un subconjunto A definido sobre un referencial X, un elemento x perteneciente a dicho referencial X, pertenece o no pertenece a dicho subconjunto A. Es decir, no existe la posibilidad de pertenecer y no pertenecer al subconjunto A al mismo tiempo. Del principio del tercio excluido se deriva el principio de exclusión. Éste indica que un mismo elemento x no puede pertenecer a la vez a un conjunto y a su complemento.

En la práctica empresarial tienen lugar situaciones en las cuales resulta válida la aplicación de estos principios. Por ejemplo, cuando en el estado de los equipos se distingue el conjunto de los equipos trabajando del conjunto de los equipos no trabajando. Sin embargo no son aplicables si dentro del conjunto de los equipos trabajando se define el subconjunto de equipos con bajo grado de aprovechamiento, pues ya no resultará tan sencilla la decisión de pertenencia o no pertenencia de los equipos. Será necesario designar un valor que sirva como referencia. Si se decide que hasta un 50% de aprovechamiento de la capacidad se considera que es bajo, podrá establecerse qué equipos pertenecen a este subconjunto, pero siempre existirá la duda en aquellos casos que se acerquen a esta frontera. Un equipo podrá tener un “bajo”, “medio” o “alto” nivel de aprovechamiento de su capacidad pero las fronteras entre estas categorías serán flexibles.

La teoría de los subconjuntos borrosos, basada en el principio de simultaneidad gradual resulta más conveniente para tratar situaciones donde no es posible la aplicación de los principios de las matemáticas clásicas. Según el principio de simultaneidad gradual, un elemento puede pertenecer a un determinado conjunto y a la vez al conjunto complementario, siempre que se asigne a ambas pertenencias un grado, o bien, una proposición puede ser verdadera y falsa a la vez siempre que se asigne un grado de verdad y de falsedad.

Al concepto de número borroso están asociados los conceptos de intervalo de confianza, nivel de presunción y subconjunto borroso.

Intervalo de confianza: Para una magnitud, de la que no se conoce de manera precisa su valor en R, existen muchas situaciones en las que se puede afirmar que tal magnitud x es superior o igual a a1 R e inferior o igual a a2 ∈ R, es decir, que x pertenece al segmento [a1, a2] ⊂ R. Se supone además que no existe ley de probabilidad alguna, incluida la ley uniforme o equiprobable, que pueda ser afectada a los elementos de este segmento. Se dice entonces que:
                                                                                  A = [a1, a2](1)

es un intervalo de confianza en R.

Un experto tendrá dificultades para predecir con exactitud la cuantía de los daños que podría ocasionar un siniestro, pero no dudaría en afirmar que bajo cualquier circunstancia estarían por encima de un valor a1 y no serían superiores a un valor a2.

Nivel de presunción: Dado un referencial E y subconjuntos de confianza , que dependen deα de tal manera que:

                                           (α’ >α) ⇔ (Aα ‘ Aα)                                                         (2)

Esto significa que los subconjuntos de confianza se encajan de manera monótona los unos dentro de los otros cuando α crece.

El valor α se denomina “nivel de presunción”. El nivel 0 corresponde siempre al referencial. A medida que el nivel de presunción α aumenta, los subconjuntos Aα no pueden aumentar. Al máximo nivel de presunción (1) es posible que el subconjunto sea vacío.

Subconjunto borroso: En las matemáticas clásicas, un conjunto se puede representar a partir de un par: (E,aA(x)) donde es el referencial y A^E se halla definido por su función característica:

                                                                     αA(x) = 1,       

                                                                  αA(x) = 0 (3)

Un elemento x pertenece o no pertenece al subconjunto A, pero no existen términos medios. En un subconjunto borroso la pertenencia de un elemento está definida de forma difusa o borrosa, es decir, existen distintos grados de pertenencia. Un subconjunto borroso  A̰ quedará definido como:

                                                 A̰ = { (x, αA (x)): x ϵ E, α A (x) ϵ [0,1] }                                          (4)

El nivel de pertenencia (o nivel de presunción) es un intervalo en el que αpuede tomar su valor. De esta forma, un elemento puede pertenecer a un subconjunto A en un 80% y al complemento de A en un 20%. Tomando como ejemplo el estado técnico de los equipos, una persona puede opinar que el equipo “está bastante bueno”. Esta expresión, que no se admite en términos de las matemáticas clásicas encuentra su expresión en las matemáticas borrosas: el equipo pertenece al conjunto de los equipos en buen estado con un grado de pertenencia α y al conjunto de los equipos que no están en buen estado con un nivel de pertenencia 1 - α

Un subconjunto borroso A̰ R es “normal” cuando:

  αA (x) = 1                                                                              (5)

x

El subconjunto borroso es normal si al menos uno de sus elementos pertenece a dicho subconjunto con un nivel de presunción igual a la unidad.

En el caso de que ninguna de las observaciones hechas por los expertos alcance el máximo nivel de presunción y sea necesaria la condición de normalidad, se puede normalizar el subconjunto borroso dividiendo las observaciones por la de mayor nivel de presunción.

Dado que todo subconjunto borroso está constituido por un encaje de subconjuntos ordinarios en función del nivel de presunción considerado y suponiendo que todos los subconjuntos ordinarios  de  nivel  α  sean intervalos de confianza   Aα   entonces se escribirá:

                                   (α‘ > α) <=> (a1(α)` ≥  a1(α),  a2(α)` ≥ a2(α))                                                      (6)

Se dirá entonces que el subconjunto A̰ es convexo.

Número borroso: Un número borroso es un subconjunto borroso de R normal y convexo.

Kaufmann y Gil (1990) afirman que “un número borroso es la asociación de dos conceptos: el de intervalo de confianza que se halla ligado a una concepción de la incertidumbre y el de nivel de presunción ligado a una concepción de la subjetividad.4
De las diversas técnicas que propone la matemática borrosa se utilizó el método Fuzzy Delphi con ciertas adecuaciones al contexto de las empresas. La construcción de “expertones” que representaran las valuaciones de las variables de riesgos realizadas por los expertos fue otra de las herramientas “borrosas” empleadas. El expertón es un número borroso. Ambos procedimientos de las matemáticas borrosas se describen a continuación.

3.  El método Fuzzy Delphi y el expertón

El método Delphi fue desarrollado por la Rand Corporation de California en los primeros años de la década del 60. El mismo consiste en la consulta a expertos para que proporcionen su opinión sobre las fechas más cercana, más lejana y más probable en que tendrá lugar un determinado hecho científico, tecnológico o de cualquier otra naturaleza. El objetivo es obtener una previsión a partir de las opiniones de los expertos, pero con la condición de que estos sólo conocen su propia opinión y la desviación de la misma con respecto a la media del grupo. Cada experto puede cambiar su previsión si así lo considera. El proceso se repite varias veces, hasta que las diferencias entre las distintas previsiones sean muy pequeñas. Este método presenta tres características fundamentales:

1.     Anonimato: Ningún experto conoce la identidad de los otros que componen el

grupo de debate. Esto tiene una serie de aspectos positivos, como son:

  • Impide la posibilidad de que un miembro del grupo sea influenciado por la reputación de otro de los miembros o por el peso que supone oponerse a la mayoría. La única influencia posible es la de la congruencia de los argumentos.
  • Permite que un miembro pueda cambiar sus opiniones sin que eso suponga una pérdida de imagen.
  • El experto puede defender sus argumentos con la tranquilidad que da saber que en caso de que sean erróneos, su equivocación no va a ser conocida por los otros expertos.
  • Iteración y realimentación controlada: La iteración se consigue al presentar variasveces el mismo cuestionario. Como, además, se van presentando los resultadosobtenidos con los cuestionarios anteriores, se consigue que los expertos vayan

    conociendo los distintos puntos de vista y puedan ir modificando su opinión si los

    argumentos presentados les parecen más apropiados que los suyos.

  • Respuesta del grupo en forma estadística: La información que se presenta a losexpertos no es sólo el punto de vista de la mayoría, sino que se presentan todaslas opiniones indicando el grado de acuerdo que se ha obtenido.

A partir de esta propuesta y con la inclusión de los números borrosos, Arnold Kaufmann y Jaime Gil Aluja (1986) proponen un nuevo método Delphi, bautizado por ellos como método Fuzzy Delphi.

El método Fuzzy Delphi utiliza la misma forma de comunicación con los expertos que el método Delphi, pero difiere de éste en los procesos de estimación. Se justifica la utilización de las matemáticas borrosas ya que:

  • Las previsiones a largo plazo no pueden situarse en el campo de lo aleatorio, sino en el de la incertidumbre, para cuyo tratamiento se adapta mejor la teoría de los subconjuntos borrosos.
  • En sus estimaciones los expertos utilizan sus conocimientos personales cargados de un alto grado de subjetividad. Este hecho obliga a utilizar lo borroso en lugar de lo aleatorio para el tratamiento de esta subjetividad. Para pasar a estimaciones más objetivas se recomienda el empleo de métodos estadísticos de agregación.
  • La pregunta a los expertos puede resultar más comprensible si adopta la forma: Establecida la posibilidad de conseguir un hecho técnico, ¿puede estimar su fecha más próxima de realización (no antes), su fecha de realización más lejana (no después) y la fecha que corresponda a su máximo nivel de presunción? Sin dudas, les resultará más cómoda la contestación que si interviene una probabilidad de realización de 0,5.
  • Resulta más sencilla la utilización de los números borrosos triangulares para el experto, por la facilidad de percepción y de aplicación de los modernos medios de tratamiento de la información.

El método Fuzzy Delphi propuestos por Kaufmann y Gil Aluja consta de los siguientes pasos:5

  • Cada experto proporciona sus estimaciones sobre un mismo hecho. En el casopropuesto por los autores se refería a las fechas en que se produciría un determinadodescubrimiento o invento: la fecha más próxima (no antes), la fecha de máxima

    presunción y la fecha más alejada (no después).

  • Con todas las estimaciones se obtiene el haz de números borrosos triangulares (NBT):

(A1(i) , B1(i) ,C1(i) )                                  i = 1,2,…, n

El subíndice corresponde a la ronda de la estimación, el índice superior (i) se refiere al número del experto y n es el número de expertos.

  • A partir del haz anterior se calcula el número borroso triangular medio:

                                     (

y para cada experto i, las desviaciones:

A1(    i  )  B1(  i)   C1(  i)

Estas diferencias pueden ser positivas, negativas o nulas y se le informan a cada experto sólo en lo que les concierne personalmente.

  • Con la información del paso anterior, cada experto proporciona nuevas estimaciones obteniéndose un nuevo haz de números borrosos triangulares:

                                               (A2(i) , B2(i) ,C2(i) )

Se vuelve al punto 2 y se repite todo el proceso hasta conseguir un umbral dado por un criterio de parada (se pueden imaginar diversos criterios de parada). También puede limitarse de antemano el número de vueltas.

El resultado final es una estimación menos imprecisa y más centrada sin desestimar (ni sobrestimar) la opinión de ningún experto.

Cuando se trabaja con intervalos de confianza en lugar de números borrosos triangulares es necesario calcular la distancia entre dos intervalos de confianza. Existen diferentes formas para hacerlo. Una de las más utilizadas es la distancia de Hamming definida de la siguiente forma.

Dados los intervalos de confianza A = [a1,a2]⊂ [0,1] y B = [b1,b2] ⊂ [0,1]

                                            (7)

El expertón es una herramienta para la agregación de opiniones de expertos. El trabajo con los expertones permite realizar la valuación de una variable sin desechar todo  el  grado  de  “vaguedad”  que  caracteriza  al  pensamiento  humano.  Con  estas valuaciones se podrán hacer operaciones matemáticas (suma, mínimo, máximo y otras) sin perder la riqueza de esta información y con todo el rigor matemático.

Es preciso aclarar la diferencia entre “valuación“ y “evaluación“. Se entiende por evaluación la asociación de un valor numérico, positivo, negativo o nulo, a un objeto (concreto o abstracto) realizada por un experto. Una valuación es la expresión de un nivel de verdad que toma sus valores en el intervalo de confianza [0,1].

Si bien en el campo binario una valuación viene expresada por las cifras 0 ó por 1, en el campo multivalente o borroso esta valuación es un número entre 0 y 1, comprendidos ambos. Si se procede a realizar descomposiciones enteras o equidistantes en [0,1], se pueden utilizar las correspondencias siguientes:

Escala binaria:

0: falso

1: verdadero

Escala pentaria:

0: falso

 : más falso que verdadero

 : ni falso ni verdadero

 : más verdadero que falso

1: verdadero

Escala endecadaria:

0: falso

 : prácticamente falso

 : casi falso

 : bastante falso

 : más falso que verdadero

ni falso ni verdadero

 : más verdadero que falso

 : bastante verdadero

 : casi verdadero

prácticamente verdadero

1: verdadero

La preferencia de una escala multivalente (> 2) sobre otra depende de la persona que utilice este instrumento matemático y no influye sobre el resultado final. La más utilizada es la escala endecadaria ya que 11 niveles son muy bien acogidos y proporcionan suficientes variantes en la escala sin que éstas sean excesivas. Las escalas pares tienen el inconveniente de no tener una medida central que exprese la indiferencia en la opinión del experto. También puede hacerse corresponder otra escala semántica, por ejemplo, de muy grave (nivel 1) a insignificante o muy leve (nivel 0). Gil Lafuente (1993) utiliza la escala endecadaria haciendo corresponder los niveles 0 y 1 a los extremos de un intervalo de confianza en R. Esta posibilidad permite utilizar el método de los expertones para el análisis de riesgos tanto si éste es cualitativo como si es cuantitativo.

Cuando un experto tiene problemas para elegir una valuación, puede adoptar un intervalo de confianza en [0,1], es decir: [a1, a2] ⊂ [0,1]. Esto le proporciona una libertad suplementaria al mismo.

Para la mejor comprensión del método se ilustra con un ejemplo:

Se le pide a un grupo de cinco expertos que den su valuación sobre la intensidad con que se puede manifestar determinado riesgo. En la escala endecadaria, 0 significará que no trae consecuencias para la empresa o que estas son insignificantes y 1 que las consecuencias son muy graves. Las valuaciones de los expertos son las siguientes:

Experto 1: 0.7

Experto 2: [0.4, 0.5]

Experto 3: 0.6

Experto 4: [0.6, 1]

Experto 5: [0.8, 0.9]

Con esta información se elabora el siguiente cuadro con las frecuencias de las observaciones. A la izquierda se sitúa la frecuencia observada en los a1 por cada nivel de la escala y a la derecha los extremos superiores de los intervalos: a2. En el caso de que en vez de un intervalo el experto seleccione un solo valor, se considera la misma como un intervalo [a1, a1].

a1

a2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

1

0,5

1

0,6

2

1

0,7

1

1

0,8

1

0,9

1

1

1

Estos datos se dividen por el número de expertos (cinco en este caso), es decir, se normalizan las observaciones. Por último se obtiene el expertón A̰ hallando las frecuencias acumuladas comenzando por el nivel 1 y avanzando hacia el nivel 0.

Observaciones acumuladas

Frecuencias acumuladas

0

0

1

1

0,1

0,1

1

1

0,2

0,2

1

1

0,3

0,3

1

1

0,4

0,2

0,4

1

1

0,5

0,2

0,5

0,8

1

0,6

0,4

0,2

0,6

0,8

0,8

0,7

0,2

0,2

0,7

0,4

0,6

0,8

0,2

0,8

0,2

0,4

0,9

0,2

0,9

0

0,4

1

0,2

1

0

0,2

La esperanza matemática del expertón A̰  se calcula agregando los valores a la izquierda y a la derecha (excepto el nivel 0) y dividiendo por 10. En este caso se obtiene:

() = [0.62, 0.74]

Esto  significa  que  el  riesgo  analizado tiene  consecuencias  significativas  para  la empresa y requiere medidas de tratamiento.

Puede comprobarse que los valores calculados de E ()  pudieran haberse obtenido como la media de las observaciones u opiniones de los expertos, sin necesidad de aplicar la técnica del expertón. En la práctica la esperanza matemática se halla al final del proceso, al decir de Kaufmann y Gil Aluja, se hace caer la entropía lo más tarde posible. Siempre que se trabaje con operadores matemáticos lineales, habrá coincidencia entre la media de las observaciones y la esperanza matemática del expertón. Sin embargo, cuando se trabaja con operadores matemáticos no lineales, como pueden ser el mínimo o el máximo, “sería un error tomar directamente las medias, habida cuenta que es necesario tener en cuenta ciertas leyes estadísticas”.6

Entre las diversas operaciones que se realizan con los números borrosos interesa definir la operación “producto de dos expertones”, ya que el nivel del riesgo se determina como el producto de la frecuencia por la  intensidad .

Siendo a,b dos expertones, entonces:

c = a()b                                                                             (7)

La multiplicación de dos expertones se realiza nivel a nivel, multiplicando los valores situados en la misma posición en ambos expertones.

La esperanza matemática de será un intervalo de confianza, que permitirá organizar los riesgos en orden de importancia y decidir sobre su posterior tratamiento, objetivo esencial de la etapa de evaluación.

Se pueden ordenar intervalos de confianza de mayor a menor, calculando el supremun o límite superior de los intervalos de confianza y las distancias entre éstos y el supremun. El intervalo de menor distancia será el mayor y así sucesivamente. El supremun se obtiene al escoger el mayor entre todos los extremos inferiores, y también el más grande de los extremos superiores. El resultado será el intervalo situado más a la derecha.
7

De esta forma, a través de herramientas de las matemáticas borrosas se pueden obtener estimaciones a partir de información subjetiva obtenida de expertos con el rigor técnico necesario para la toma de decisiones en el contexto de la administración de los riesgos empresariales.

La necesidad de aplicar estas técnicas a la evaluación de riesgos está dada por dos condiciones  explicadas anteriormente: la insuficiente información disponible en las empresas para evaluar una gran parte de los riesgos de operación y los rápidos cambios que se producen en las empresas y su entorno. Este último factor provoca el no cumplimiento del supuesto de normalidad que exigen los modelos tradicionales de evaluación de riesgos,  basados en  la teoría de las probabilidades y potencia la necesidad de utilizar la opinión de expertos. Su aplicabilidad a la evaluación de riesgos se sustenta en la naturaleza de éstos: la incertidumbre, así como en la subjetividad de la información de partida.

  • Procedimiento para la evaluación de los riesgos de operación

Una vez identificados los riesgos empresariales de operación por un grupo de expertos, se puede proceder a la evaluación de sus atributos fundamentales: frecuencia e intensidad. El método Fuzzy Delphi se utiliza tanto para el análisis cualitativo como cuantitativo.

Análisis cualitativo:

  • Se solicita a cada experto que califique tanto la frecuencia como el impacto para cada riesgo. Si la escala escogida es amplia, el experto tiene la libertad de expresar su opinión en un intervalo de niveles y no centrado en un solo nivel, tal como se aplican las encuestas tradicionalmente. Esta libertad da la posibilidad de recoger las opiniones tal y como  piensan las personas, con sus dudas e imprecisiones, sin forzarlas a decidirse por un solo nivel de la escala.

             Al final se dispondrá de n intervalos de confianza para cada variable y riesgo:

,    i = 1, 2,…, n,   j = 1, 2  ,  l = 1, 2,.., m

donde:

i es el número del experto y n es el total de expertos,

j = 1 representa la frecuencia y j = 2 el impacto (consecuencia, intensidad),

l representa los riesgos y m es el total de ellos,

el subíndice (1) corresponde a la primera ronda del proceso.

  • Agregación de las valuaciones.

En esta fase del análisis se computan todas las valuaciones por variable y riesgo. Aquí se trata de “valuación” y no de “evaluación” pues los expertos han calificado las variables a través de intervalos de confianza que, mediante la técnica conocida como “expertón” podrán ser agregadas.

Dado que, en la primera ronda sólo se busca hallar la media de las valuaciones del grupo para cada variable y riesgo, así como las distancias entre cada valuación y esta media, y conociendo que la media de las observaciones coincide con la esperanza matemática del expertón, se puede obviar el cálculo de los expertones en esta primera ronda y realizar solamente los cálculos de las medias de los valores mínimos y máximos dados por los expertos para cada variable y riesgo, además de las distancias entre el intervalo de confianza medio así obtenido y los intervalos de confianza que representan las valuaciones de cada experto.

Se obtendrá para cada variable y riesgo el intervalo:

donde:

    ,             

Es necesario recordar que hasta este punto se ha trabajado con los valores de la escala, definidos del uno (1) al 10 para facilidad de los expertos. Tanto para construir el expertón como para  calcular las distancias, se requiere que todas las observaciones (valuaciones de los expertos) se expresen en el intervalo [0,1]. Para ello basta dividir cada observación por el mayor valor de la escala (10 si se aplicó la escala endecadaria).

Entonces los intervalos quedarán definidos de la forma:

siendo k el mayor valor de la escala (10 si se aplicó la escala de 11 niveles), y:

Ì [0,1]

Los valores medios antes calculados también se expresan en el intervalo [0,1].

y:                                                      Ì [0,1]

La distancia relativa entre los intervalos de confianza (3.5) y (3.6) estará dada por:

para cada variable, riesgo y experto.

  • Segunda ronda de encuestas.

Cada experto recibe información sobre los promedios de los intervalos de cada variable y riesgo, y las distancias entre sus repuestas individuales en la primera ronda y estos intervalos promedios. La encuesta es la misma, pero ahora cada persona tiene la libertad de confirmar o variar sus calificaciones anteriores.

Se obtendrán nuevos intervalos de confianza:

               i = 1,2,…, n

El subíndice (2) representa el número de la ronda.

Con las observaciones de los expertos llevadas a la escala  (dividiendo cada observación por k) se construyen los expertones con la ayuda de una hoja Excel. El cálculo de un expertón ha sido explicado anteriormente

De cada riesgo se tendrán dos expertones: uno de la frecuencia y otro de la intensidad:

F̰ l,   Ḭ l

  1. Cálculo del nivel de cada riesgo y jerarquización de los mismos.

El nivel del riesgo se obtiene en forma de expertón (N̰ l), multiplicando frecuencia por intensidad.

N̰ l  =  F̰ l  x  Ḭ l

La multiplicación de dos expertones se halla multiplicando los valores situados en la misma posición en ambos expertones.

Ya en este momento se puede hacer caer la entropía y calcular la esperanza matemática del expertón N̰ l . La esperanza matemática de  N̰ l  será el intervalo de confianza

[n1,l, n2,l]

Los riesgos se ordenan de mayor a menor según su nivel. Para ello se calcula el SUPREMUN de los intervalos anteriores y las distancias entre cada uno de ellos y el SUPREMUN. El riesgo de mayor nivel será aquel que posea la menor distancia entre el intervalo de confianza que caracteriza su nivel y el SUPREMUN. Si se organizan estas distancias en orden ascendente, se obtendrá el orden de los riesgos en prioridad descendente.

Como resultado del análisis cualitativo se obtiene un orden jerárquico según la importancia de cada riesgo. El equipo responsable del proceso decidirá los riesgos que serán sometidos al análisis cuantitativo: aquellos cuyas consecuencias puedan ser cuantificadas y que clasifiquen entre los de mayor nivel.

Cuando las consecuencias de un riesgo no se pueden expresar en términos económicos (por ejemplo, riesgos como las afectaciones a la imagen y prestigio de la organización y la fluctuación de fuerza de trabajo especializada), si el nivel del riesgo sobrepasa el nivel aceptado por la empresa, las respuestas para el tratamiento se implementan sin realizar el análisis cuantitativo.

Los riesgos con niveles de frecuencia e intensidad menores no se desestiman totalmente. Simplemente no están dentro del grupo de los riesgos que más requieren de esfuerzos de control. A medida que lo permitan los recursos disponibles (tiempo, personas, dinero, materiales), estos se van incorporando al grupo de riesgos con tratamiento.

Análisis cuantitativo:

En este punto surge una interrogante: Si a partir del análisis cualitativo se obtiene una jerarquización de los riesgos, ¿para qué entonces es necesario un análisis cuantitativo de éstos? La respuesta es sencilla: si las medidas de tratamiento implican gastos, el nivel de éstos debe estar en correspondencia con las pérdidas que podrían producirse de tener lugar la ocurrencia del riesgo.

El análisis cuantitativo también se realiza con información dada por expertos mientras la empresa no cuente con estadísticas suficientes. Por tanto, también es válida la aplicación de la teoría de los subconjuntos borrosos, al menos hasta tanto se logre crear una base de datos suficiente para aplicar otros modelos.

El análisis cuantitativo sólo es aplicable a aquellos riesgos cuyo impacto es susceptible de ser expresado en valor. La definición de un intervalo de la cuantía del impacto de los riesgos dará a la dirección de la empresa información para decidir sobre la forma de controlar o tratar los riesgos que exigen la erogación de dinero.

El análisis cuantitativo implicará solamente a la variable impacto de las consecuencias del riesgo, puesto que la frecuencia fue calificada anteriormente. La secuencia de pasos es la siguiente:

  1. Se solicita a algún especialista (o a varios) su apreciación sobre la cuantía de este impacto en caso de que el evento que constituye el riesgo se produjese. Cuando a un experto se le pide un valor sobre las pérdidas de un riesgo particular, éste suele tener dificultades para realizar tal predicción, y es lógico. Sin embargo, responderá sin vacilación si se le pide el valor mínimo que podría representar dicha pérdida y el máximo valor expuesto a pérdida. Su respuesta será el intervalo:[B1, B2]  , donde B1 es la menor pérdida que el riesgo podría ocasionar y B2 indica la mayor pérdida posible por la ocurrencia del riesgo. En el caso de que varios especialistas hayan dado sus predicciones se tomará como B1 el menor de todos los valores dados por los expertos y como  B2 el mayor de todos los valores dados.
  2. La opinión de una sola persona, sobre todo si B1 y B2 son relativamente distantes, poco o nada ayudará a la dirección de la empresa a tomar una decisión respecto al riesgo i. Puede solicitarse a otros especialistas su valoración sobre el mismo hecho. El procedimiento del expertón también es aplicable. En este caso la escala toma las siguientes definiciones de sus niveles:

0

Para B1

0.1

Prácticamente B1

0.2

Casi B1

0.3

Cercano a B1

0.4

Más cerca de B1  que de B2

0.5

Tan cerca de B1 como de B2

0.6

Más cerca de  B2 que de B1

0.7

Cercano a B2

0.8

Casi B2

0.9

Prácticamente B2

1

Para B2

Se somete a la consideración de otros expertos (contraexpertos) la escala anterior y se les pide una valuación de las pérdidas. En caso de que el contraexperto quisiera dar su opinión fuera de los límites del intervalo, se tomaría un nuevo límite (o dos si fuera necesario) y se realizaría el proceso con el nuevo intervalo.

Cada contraexperto dará su opinión mediante un intervalo de confianza. Por ejemplo: [0.7, 0,9] si considera que las pérdidas serían cercanas a B2 como mínimo y prácticamente B2 a lo sumo. Con estas valuaciones se construye el expertón b̰l  para cada riesgo.

  1. Para obtener el intervalo que representa las opiniones de todas las personas consultadas, es decir, convertir el expertón  b̰l en datos, habrá que calcular la esperanza matemática del R- expertón (B̰l) para cada riesgo.

 (+) 

donde:

es el mínimo valor del intervalo y es el máximo valor del intervalo.

Un ejemplo numérico puede ayudar a ilustrar este procedimiento.

Un experto indagado sobre la posible pérdida que un determinado riesgo podría causar en caso de ocurrir, responde que ésta nunca será menor a 600 unidades monetarias ni tampoco excederá las 10 000  unidades monetarias. El intervalo puede ser considerado demasiado grande para tomar una decisión en cuanto al costo máximo en que la empresa debe incurrir para controlar dicho riesgo. Por tal motivo se somete a la consideración de contraexpertos (8 en el ejemplo), los que suministran su opinión mediante intervalos de confianza (o una sola evaluación) tomando como referencia la escala endecadaria. En este caso B1 se sustituye por el valor mínimo posible de la pérdida (B*1 = 600) y B2 por su máximo valor (B*2 = 10000).

Las respuestas son las siguientes:

Contraexperto 1: [0,2 ; 0,5]

Contraexperto 2: [0,1 ; 0,3]

Contraexperto 3:      0,5

Contraexperto 4: [0,3 ; 0,6]

Contraexperto 5: [0,6 ; 0,7]

Contraexperto 6: [0,4 ; 0,7]

Contraexperto 7: [0,2 ; 0,5]

Contraexperto 8: [0,5 ; 0,8]

Con estas valuaciones se elaboran los siguientes cuadros. En el primero de ellos se representan las frecuencias en cada nivel de la escala y a continuación se normalizan las observaciones dividiendo las frecuencias pro el número de expertos (8).

Frecuencias

Frecuencias normalizadas

0

 

0

0,1

1

0,1

0,125

0,2

2

0,2

0,25

0,3

1

1

0,3

0,125

0,125

0,4

1

0,4

0,125

0,5

2

3

0,5

0,25

0,375

0,6

1

1

0,6

0,125

0,125

0,7

2

0,7

0,25

0,8

1

0,8

0,125

0,9

0,9

1

1

El expertón se obtiene en el siguiente paso al acumular las frecuencias normalizadas a partir del nivel 1 y hasta el nivel 0, en cada columna:

0

1

1

0,1

1

1

0,2

0,875

1

0,3

0,625

1

0,4

0,5

0,875

0,5

0,375

0,875

0,6

0,125

0,5

0,7

0

0,375

0,8

0

0,125

0,9

0

0

1

0

0

La esperanza matemática de este expertón será: ε (a̰l) = [0,35 ; 0,575].

No es preciso hallar el R- expertón para llegar a su esperanza matemática. Bastará con aplicar la fórmula (8).

En el ejemplo,   ε(B̰l) = 600 (+) (10000 – 600) * [0,35 ; 0,575]

ε(B̰l) = [3890, 6005]

Se puede apreciar a simple vista que se ha reducido la amplitud del intervalo de confianza. Si se desea una única estimación puede calcularse:

BR = 

Este valor no coincide con la media del intervalo inicial [600, 10000]. Es una medida construida a partir de las opiniones de varios expertos y por tanto las representa con mayor fidelidad. De esta forma se reduce la incertidumbre y puede tomarse una decisión sobre lo que se puede invertir para el tratamiento del riesgo dado, o lo que es igual, el máximo valor que pueden alcanzar las medidas para el tratamiento del riesgo.

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2 Morillas Raya, A. (2001): Introducción al análisis de datos difusos. Curso de Doctorado en Economía Cuantitativa. Universidad de Málaga, España, p.4

3 Kaufmann A., Gil Aluja J., (1990): Las matemáticas del azar y de la incertidumbre. Elementos básicos para su aplicación en economía. Editorial Centro de Estudios “Ramón Areces”, España, p.4

4 Kaufmann A. y Gil Aluja, J. (1990): Las matemáticas del azar y de la incertidumbre. Elementos básicos para su aplicación en economía. Editorial Centro de Estudios “Ramón Areces”, España, p. 47

5 Kaufmann A. y Gil Aluja J. (1986). Introducción de la teoría de los subconjuntos borrosos a la gestión de las empresas. Editorial Milladoiro, España

6 Kaufmann, A. y Gil Aluja, J. (1993). Técnicas especiales para la gestión de expertos. Editorial Milladoiro, España, p.105

7 Gil Lafuente, A.M. (1993): El análisis financiero en la incertidumbre. Ariel Economía, España, p. 77.

Para citar este artículo puede utilizar el siguiente formato:
Blanco Campins, Blanca: "Evaluación de riesgo de operación con matemáticas borrosas" en Revista Caribeña de Ciencias Sociales, octubre 2012, en http://caribeña.eumed.net/evaluacion-de-riesgos-de-operacion-con-matematicas-borrosas/

Revista Caribeña de Ciencias Sociales es una revista académica, editada y mantenida por el Grupo eumednet de la Universidad de Málaga.